Elucubraciones sobre el "infinito"

Actualmente me resulta evidente que el esfuerzo nuestros profesores para enseñarnos el concepto de cantidades infinitas fue un completo fracaso. Y por supuesto no fue culpa de nuestra maravillosa maestra de escuela primaria (no recuerdo cuál de ellos fue, pero todas mis maestros fueron maravillosos ante mis ojos infantiles).

El concepto elucubraciones de infinitud no "entra" fácilmente (si es que alguna vez entra) en nuestras mentes.

Recuerdo, que cuando tenía yo unos 30 años, durante las muchas charlas con mi suegro José Jimenez Mier (doctor en quiminca y apasionado de la física), en el jardín de nuestra casa en Guadarrama, mirando al cielo estrellado en las noches de verano (yo trabajaba por entonces por la noche y salía de casa sobre la 01.00h de la madrugada…y donde él intentaba explicarme el tamaño del universo y, muchísimas cosas más de astronomía, religión, filosofía,…. así durante estas convrsaciones surgió la inevitable pregunta acerca de dónde termina el universo?. Y si termina, qué hay más allá?. Preguntas sin respuesta clara, pero que me abrieron la mente a algunas de las grandes incógnitas con las que viene luchando nuestra mente desde que los seres humanos tuvimos tiempo ocioso para preocuparnos no sólo por las cosas cotidianas.

Y el último recuerdo importante ya pertenece al período universitario donde consultando a mis cuñados Pepe, Sergio y Javier…. me enseñaron a tratar matemáticamente las cantidades infinitas y (oh sorpresa!) las trans-finitas. Finalmente había cosas más grandes que el infinito vulgar que había aprendido en la escuela primaria.

Muchos años después (y lamentablemente ya no tengo a mi suegro para conversar con él – era otro padre y maestro para mí en muchos temas, así como compañero de aficiones en otros temas, como era la carpintería y la fotografía) algunas de todas estas cosas siguen dando vueltas por mi cabeza. Es un proceso contra el que no puedo ni quiero dejar luchar. Intentar conocer los fundamentos de nuestra vida, de nuestro entorno, de nuestro mundo, de nuestros misterios, de los límites e infinitos posibles….

Pero además sigo sumando datos. Y entre las cosas que aprendí en el camino figura la diferencia entre la descripción matemática del mundo físico y el mundo físico. Las matemáticas son una muy bella herramienta, pero a veces somos "más papistas que el Papa" en su empleo y creemos que las matemáticas son una realidad en sí mismas

Puedo entonces definir el objetivo de esta página.

En estos párrafos quiero plantear algunas objeciones prácticas que hacen foco sobre el posible uso equivocado (desde mi punto de vista) del concepto de infinito en el campo de los problemas físicos. Y sé que piso terreno resbaladizo puesto que estoy muy, pero muy lejos de ser un experto matemático.

En alguna medida la discrepancia entre infinitos matemáticos e infinitos físicos deriva de la mayor “libertad” de que gozan las matemáticas para definir propiedades y conceptos sobre las entidades que manejan. La asignación de realidad física a los resultados matemáticos es siempre un proceso que merece ser analizado toda vez que parezca necesario.

En forma adicional, el enfoque aquí desarrollado, con ayuda de la “Teoría del Caos”, conduce también a un análisis especial del concepto de “Libre Albedrío”.

Para empezar , muchos conceptos aritméticos y geométricos se aceptan como “intuitivos”. Tal es el caso de los conceptos de punto, recta y plano de la geometría euclídea. De este modo se acepta que un “punto” no tiene dimensiones, y que una recta no tiene espesor y está formada por la alineación de infinitos puntos.

Pero estos conceptos “intuitivos” pueden conducir a falacias físicas notables. En particular nos centraremos en el concepto de “infinito” desde un punto de vista físico, dado que nuestra “intuición” deriva de nuestras experiencias físicas.

La forma tradicional de introducir el concepto de infinito, es a través de la sucesión de números naturales.

En estos casos el mecanismo se generaliza diciendo algo así como: “... Evidentemente mediante este proceso se llega a ...”. La falacia de este razonamiento radica en que plantea un procedimiento de extensión infinita, y por lo tanto no “se llega” a ningún lado puesto que el proceso no termina nunca. Y si uno acepta que el proceso se completa, de alguna manera está introduciendo una paradoja. Esta paradoja es la que permite hablar de infinitos mayores que otros, pues al aceptar que un conjunto infinito es numerable, es posible encontrar un “infinito” de mayor jerarquía.

Ahora, de una manera práctica (basada en conceptos físicos) intentaremos llegar al concepto de infinito:

Si me dispongo a llenar una pileta de 10,000 litros empleando un balde de 10 litros, es evidente que, en el caso ideal en que no hay derrames ni evaporación, podré completar la tarea luego de transportar y verter 1,000 baldes. Ésta parece una tarea pesada, pero no imposible.
1,000 baldes es una cantidad grande de baldes. Pero la tarea es realizable.

Ahora bien, si cada balde lo lleno sólo con la décima parte de su capacidad (1 litro), deberé realizar 10,000 transportes para completar la tarea. Y si en cada balde transporto sólo 1 cm3 deberé realizar 10,000,000 de viajes para llenar la pileta.
10,000,000 de viajes son muchos, pero todavía es una cantidad que nuestra mente puede manejar. Como ejemplo, durante una lluvia que registra 10 mm en un pluviómetro, en una hectárea caen algo así como 100,000 litros de agua, y asumiendo que 20 gotas corresponden a 1 cm3, esto representa 2,000,000,000 de gotas

Y si transporto 10-20 litros en cada balde (cerca de 1,000,000 de moléculas de agua en cada viaje), necesitaré 1024 viajes para lograr la tarea.

Bien, suponiendo que continúo reduciendo el volumen transportado en cada viaje, puedo hacer crecer indefinidamente el número de viajes necesarios para realizar el llenado.

De este modo, da la impresión de que puedo reducir el volumen hasta que sea necesario un número infinito de viajes.

Correcto?

.....?

Absolutamente Falso!!!.

Con infinitos baldes vacíos no puedo llenar nada. Y si cada balde transporta algo, con un número finito de pasos (por muchos que sean) puedo completar la tarea.


Lo mismo pasa con la recta y el punto. Si el punto no tiene espesor en ninguna de las dimensiones, infinitos puntos siguen sin tener espesor. Del mismo modo, infinitos baldes vacíos tienen tanta agua como un solo balde vacío.

Nada impide que matemáticamente se genere un resultado donde se obtiene que la suma de infinitos ceros es igual a 1 (ó a 10, o cualquier otro número). El problema consiste en asumir que ese modelo matemático se aplica a la realidad física.

Esta falacia básica ha llevado (desde mi punto de vista) a numerosas malas interpretaciones físicas. Cualquier recta (o segmento) real puede contener sólo una cantidad finita de entes primarios. Se pueden imaginar segmentos con infinitos puntos, pero en este caso le estamos abriendo las puertas a las paradojas pues planteamos postulados contradictorios.

Otra falacia conceptual se obtiene cuando se comparan diferentes “infinitos”. En este caso se hacen razonamientos para demostrar, por ejemplo, que dos círculos de radio diferente tienen infinitos puntos que se pueden colocar en correspondencia uno a uno. Y por lo tanto se concluye que los dos infinitos son iguales. O sea, que de alguna manera, se está aceptando implícitamente que existe la misma cantidad de puntos en una circunferencia de 1 metro de diámetro, que en otra de 10 metros de diámetro. No voy a discutir el concepto matemático (con el que también tengo objeciones), sino las consecuencias físicas de usar este resultado matemático en la descripción de la "realidad".

Cualquiera que sea el constituyente último (átomos, quarks, supercuerdas, ...) que da lugar a la existencia física de una soga circular de un metro de diámetro, es muy difícil aceptar que la misma cantidad de esos constituyentes últimos puede dar lugar a una soga circular de 10 metros de diámetro. Los objetos físicos están formados por cantidades finitas de constituyentes. Si alguien cree que algo puede formarse con cantidades infinitas de otra cosa, acepta una paradoja puesto que agrupar infinitas unidades es un proceso que consume infinito tiempo. Y el universo no dispuso de infinito tiempo.

En los textos especializados también se “demuestra” que los números pares y los naturales pueden ponerse en correspondencia de modo que hay tantos números pares como naturales (pares + impares). Ó, expresado en forma simbólica:

N x Infinito = Infinito (donde N representa cualquier número Natural).

Sin embargo, en estos casos se generaliza una tarea que no puede realizarse. Y como se plantea una tarea no realizable y se dice que se realizó, se genera automáticamente la paradoja mencionada.

Esto lleva al concepto de infinitos de diferentes rangos (Aleph0, Aleph1, etc). Estos no son más que juegos matemáticos. La realidad física siempre pone límites. Y si uno se olvida de estos límites (aunque sean desconocidos o difíciles de evaluar) puede cometer errores conceptuales muy serios.

Cuando se eliminen los infinitos de los desarrollos físicos, se dará un paso gigantesco hacia la descripción adecuada de la realidad.