El hotel de Hilbert...."completo"

¿Qué es el infinito? ¿El número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que vemos en el cielo? En realidad, semejantes cifras no están más cerca del infinito que otras más modestas como 2, 15 ó 3.089.

El gran matemático David Hilbert ponía como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones y un viajero que llega ve en la puerta el cartel que dice “completo”.

El conserje dice que el ocupante de la habitación 1 se mude a la 2, el de la 2 a la 3 y así sucesivamente. Así, la habitación 1 queda vacía; todos los ocupantes del hotel tienen, como antes, una habitación, y el hotel seguirá, también como antes, completo.

Ahora supongamos que en vez de llegar un solo viajero, llegaran infinitos.

El conserje, esta vez, dice que el ocupante de una habitación se meta en la del doble de su valor (1 a la 2, 2 a la 4, 3 a la 6...). Ahora nos quedarán todas las habitaciones impares libres ... ¡infinitas! ¡y tan infinitas como antes!

El particular comportamiento del hotel de Hilbert es apenas una pequeña anomalía que se presenta al operar con el infinito.

El secreto está en la numeración de los huéspedes y las habitaciones.

Por ejemplo, si ponemos 1,2,3, ... infinito (las habitaciones) y escribimos sobre ellos los pares (los huéspedes), tenemos:
2 4 6 8 10 12 ... (huéspedes)
1 2 3 4 5 6 ... (habitaciones)
Dada cualquier habitación conocemos el huésped que la ocupa. Y viceversa: dado cualquier huésped, sabemos qué habitación tiene.

El infinito de los números positivos es el mismo que el de los pares.

Lo mismo sucede con los negativos:

1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ... (huéspedes)
1 2 3 4 5 6 7 8 ... (habitaciones)

Así, al huésped 20 le correspondería la habitación 39 y al -20 la 40.
A la habitación 50 le corresponde el huésped -25 y a la 49 el 25;
por tanto, el infinito de los números positivos es el mismo que el de los números positivos y negativos.

Esto, que se puede demostrar incluso con fracciones, deja de ser válido con los números irracionales (pi, raíz de 2, etc).

Por tanto, el infinito de los números irracionales es más grande que el infinito de los números positivos.

Nunca podríamos llenar el hotel de Hilbert con un número infinito de huéspedes con etiquetas irracionales. Quien pensó esto fue Georg Cantor, nacido en 1.845.

Cantor, ya desde su edad escolar demostró un talento especial para las matemáticas. Su padre, un comerciante danés, quería que su hijo estudiara ingeniería pero a Georg le atraían las matemáticas puras y a eso se dedicó toda su vida.

En 1.867 obtuvo su doctorado magna cum laude en la Universidad de Berlín y en 1.874 publicó sus excitantes ideas sobre la teoría del infinito y la teoría de conjuntos.

Antes que él, Galileo había percibido breves destellos del concepto, pero Cantor fue el primero en elaborar una estructura lógica completa.

Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos.

Llamó a estos números infinitos completos números “transfinitos” y articuló una aritmética transfinita completa.

Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1.879. Sus ideas provocaron muchas reacciones negativas, particularmente las de su maestro de la Universidad de Berlín, Leopold Kronecker.

El concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y especialmente Kronecker hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado, sufrió su primera crisis nerviosa en 1.884.

Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1.904 fue galardonado con una medalla de la Royal Society de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga.

Hoy las ideas de Cantor están aceptadas y se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna. Murió en 1.918 en una institución mental.

Fuente: “De los números y su historia”. Isaac Asimov

Cantor introdujo los números transfinitos (que se designan con la letra hebrea Aleph) y que son capaces de medir conjuntos infinitos.

Así, Aleph cero mide el infinito de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5... etc.).
Pero lo interesante es que, cuando uno quiere medir la cantidad de números pares se encuentra con que también es Aleph cero.

¿Y si agregamos los números enteros negativos?
¡Aleph cero otra vez!

¿Y las fracciones?
Pues señor, hay también Aleph cero fracciones.

O sea que hay tantos números naturales como números pares, como fracciones (y como habitaciones en el hotel Hilbert). La misma cantidad.

Todos ellos son conjuntos numerables, como se llaman aquellos medidos por Aleph cero, el menor y más hogareño de los infinitos.

Porque los infinitos no son todos iguales.

Probablemente sea ésta la más estrepitosa sorpresa de las muchas y muy razonables que salieron de la galera de Georg Cantor.

La cantidad de puntos de una recta es mayor que la cantidad de números naturales o fracciones, y el número transfinito que los mide es más grande que Aleph cero: familiarmente se lo llama ?c?, la potencia del continuo.

Los puntos de una recta, las rectas de un plano, los números irracionales, tienen la potencia del continuo.

Si al hotel de Hilbert, que tiene Aleph cero habitaciones, llegaran ?c? viajeros, no habría manera de ubicarlos; aunque el hotel estuviera vacío las habitaciones no alcanzarían.

Esta distribución jerárquica de los infinitos, que tanto (y tan comprensiblemente) sorprendió a los colegas de Cantor, no termina con Aleph Cero o ?c?.

Existen más infinitos, cada vez más grandes que excitan la fantasía y el misterio.

En ?El libro de arena?, Jorge Luis Borges imaginó un libro de infinitas páginas infinitamente delgadas. ?

El manejo de este vademécum sedoso no sería cómodo: cada hoja aparente se desdoblaría en otras análogas; la inconcebible hoja central no tendría revés?.

.

lógica e infinito,... "buscando a la Verdad"

Fuera del tiempo
Lo ilimitado hace posible el límite.
Imaginaos que todo terminara en el límite: entonces no habría límite, cualquier objeto sería el todo.
Luego, para que el límite exista, es necesario que también se dé lo ilimitado. Pero el límite existe, ergo, también lo ilimitado.

Parece absurdo, en base a este axioma, que siendo la naturaleza ilimitada, esté finitamente dividida, como los atomistas pretenden.
El universo no puede ser limitado e ilimitado al mismo tiempo (el big-bang es una teoría peregrina). Todo límite presupone un límite mayor "ad infinitum".

También resulta inconcebible que algo infinito se autoincoe, ya que se es infinito de una vez, no progresivamente. Y aún más ridículo es que lo infinito sea eterno, ya que si nunca ha empezado a ser, entonces no debería ser (ni finito ni infinito). El factor tiempo, pues, no ayuda a la hora de pasar de lo finito a lo infinito. Necesitamos un factor no-tiempo, esto es, Dios.

Más sobre el infinito
El infinito plantea aporías. En efecto, ¿cómo se explica que algo siga siendo infinito por más que le sume y por más que le reste? ¿Por qué la naturaleza del infinito es esencialmente insensible a lo finito, si al cabo no es más que un agregado de finitud?

La clave está, quizá, en entender el infinito no como una ampliación sucesiva de lo finito, sino como su negación por inclusión. No sería, pues, una derivación de lo finito existente, sino de lo infinito preexistente, que se re-produce en el tiempo de una sola vez y se re-genera sin cesar fuera del tiempo, es decir, tanto en la multiplicidad como en la unidad.

En otras palabras: Infinito no es el máximo, sino la ausencia de máximo. La Providencia se extiende a todas las cosas, pero no hay nada en la mente de Dios que exprese "el número máximo de cosas", porque esa noción es contradictoria y, por consiguiente, no existe.

Ahora bien, el concepto de infinito no resulta absurdo. Aunque infinito e infinito menos uno sigan siendo infinitos (en tanto carecen de máximo), no son idénticos, puesto que hay una infinita posibilidad de infinitos actuales. ¿Puede comprenderse, entonces, el infinito? Sólo desde la conciencia serena de su incomprensibilidad, puesto que comprender ya es poner límites. En cambio, según Leibniz, Dios es más fácil de concebir que el menor corpúsculo, ya que éste será infinito y contendrá a su vez infinitos otros, mientras que Dios es la precondición absoluta y simple de cada uno de ellos.

Lo subjetivo y lo absoluto

... ¿Qué es lo real? Si todo puede pensarse, entonces todo debe haber sido pensado antes de que todo fuera. Es decir: así como, en el orden sensible, el hombre no es engendrado porque piensa, sino que piensa porque es engendrado, en el orden racional, el universo (que incluye al hombre) no es percibido [por nosotros, sujetos] porque sea perceptible [por sí mismo, objeto], sino que es perceptible [por nosotros] porque es percibido [por Dios].

La mole del universo es ciega y no existe algo semejante a un "alma del mundo", puesto que infinidad de ojos ofrecen infinidad de perspectivas distintas dentro del mismo espacio. La visión total, que nunca emana del objeto, ya que éste es por ella, requiere un sujeto único que dé razón de todo lo que existe y que exista por sí mismo, sin razón.

Percepción y noúmeno
Si la visión no existe, ¿cómo ves sin vista?. Y, si existe, ¿cómo ves la vista?. Si la vista fuese sólo lo visto y lo que se ve, es decir, el mero acto, sería inconcebible que pudiéramos ver en otro tiempo distinto a aquel en el que vemos y hemos visto.

Pero eso sucede a diario y nadie lo tiene por milagroso. Luego la vista es algo más que el mero acto de ver: entraña una potencia.
Podemos ver los órganos que permiten la visión, estudiar sus funciones, etc. Pero no podemos ver la visión, porque ello nos conduciría a un regreso al infinito. No bastaría con ver la visión, sino que habría que ver la visión que ve a la visión, y a la que ve a ésta, etc. etc.

La vista, entonces, no es ni los órganos para ver ni lo que esos órganos ven. Que éstos sean capaces de ver no significa que vean efectivamente, ya que puedo cerrar mis ojos. Del universal "ver" tampoco se sigue que yo, D.V., vea. La vista permite ver, pero no ser vista. Predicamos, pues, la realidad de algo no observable ni mensurable. Semejantemente, Dios permite existir (ser en el mundo), pero no existe (no es en el mundo). Percepción y divinidad resultan inconmensurables con sus efectos.

Buscando la explicación racional de la Trinidad
Baso mi noción de la Trinidad en tres axiomas:
No hay pensamiento sin sujeto pensante, y viceversa, no hay sujeto pensante sin pensamiento.

Nadie puede ser su propio pensamiento, ya que ello conllevaría una contradicción entre el sujeto y el objeto.

El sujeto debe ser siempre mayor que el objeto para comprenderlo.

Nada es sin una actividad.

E infiero lo siguiente:
Aceptando como autoevidente que "la verdad es la verdad" es la primera verdad, sabemos que no puede ser deducida a partir de otra; de donde se sigue que tiene el ser pleno por sí misma, lo cual implica la existencia. Ahora bien, no puede existir sin una actividad, de modo que debe pensar y/o ser pensada por alguien.

Es pensada por el Padre, y dicha verdad es el Hijo.
El Padre es mayor que el Hijo. Sin embargo, son la misma realidad, puesto que no hay pensamiento sin sujeto pensante ni sujeto pensante sin pensamiento.
El acto mismo de pensar (distinto a lo pensado y al que piensa) es el Espíritu Santo.
El Hijo hace todo lo que el Padre hace. Luego entiendo la Trinidad como "El sujeto pensante (Padre) en el acto de pensar y dejarse pensar (Espíritu Santo) por el pensamiento (Hijo)".

La Trinidad como axioma de axiomas
"'La verdad es la verdad' es verdad" forma parte del conjunto de verdades, en tanto que es verdad, pero sólo de un modo tangencial, pues no necesita ninguna otra verdad como fundamento y existe de forma necesaria.

Para que la existencia sea verdad, la verdad debe ser existente. Lo mismo vale para todas las cualidades. La verdad, entonces, es lo que es, la suma de lo pensable, “concordantia oppositorum”.
También debe ser eterna. La eternidad es la coherencia entre el pasado, el presente y el futuro. Dicha coherencia no es ni pretérita, ni actual, ni venidera: es eterna y es verdad.

Toda verdad debe cumplir tres propiedades:

1) no contradecirse consigo misma,

2) no contradecirse con las demás verdades y

3) inferirse de las demás verdades. Dios sólo cumple. De ahí que esté y no esté en el conjunto de las verdades.

Me inclino a pensar que Dios carece de fundamento. Si Dios tuviera un fundamento, habría algo lógicamente previo a Dios, más simple que él, más básico, y por consiguiente, mayor. La verdad es abstractiva, es decir, negativa. Lo más compuesto coincide con lo más contingente, con lo innecesario o superfluo.

Creatio ex nihilo
La Trinidad resuelve el problema de cómo es posible la "creatio ex nihilo" de lo material desde la plenitud divina, inmaterial.

Los gnósticos proponían una prolación o degradación de Dios hacia lo material. Antes de ésta, se habrían dado un Silencio y un Abismo insalvables entre el Creador y la criatura.

La ortodoxia católica objeta a esa concepción la coeternidad de la Palabra, engendrada de la misma substancia de Dios antes de todo tiempo. El Verbo divino es, antes de su encarnación,la Imagen invisible del Creador, pero también es la imagen invisible o racional de todas las criaturas. Ejerce de mediador entre ambas realidades.

La verdad inactiva o expansiva
La verdad sería inactiva y no podría crear si no fuese, al mismo tiempo, expansiva. La verdad autosuficiente, pues, también implica lo verdadero. En resumen, la Trinidad puede condensarse en el siguiente aserto:

"Que la verdad (Padre) es la verdad (Hijo) es verdad (Espíritu Santo)". No existe una forma más simple de expresar la primera de las proposiciones verdaderas, fundamento infundado del resto.

Si el Islam niega que esa proposición sea cierta, entonces el Islam se equivoca e incurre en falsedad, lo cual sólo puede atribuirse a doctrinas de hombres, no a Dios. Si el Islam cree que hay un modo más simple de expresar esa primera proposición verdadera, muéstrelo sin demora.

"Creación" del mundo y la "Verdad"
Dios no creó el mundo arbitrariamente, sino conforme a ideas sustentadas en la Verdad.
Dios Padre, sin embargo, no se identifica plenamente con las ideas coeternas, ya que éstas presuponen un fin creador y un orden vinculante. Pero el fin de la Creación es accidental con respecto a la potencia eterna de Dios, inengendrada y autosubsistente.

Asimismo, la providencia creadora de Dios depende de su voluntad, no su voluntad de la providencia.
Por último, las ideas son por naturaleza concebibles, mientras que Dios es absolutamente inconcebible.

Cristo es la suma de todas las ideas que tienden a la Creación, y es también su fundamento engendrado: el Bien, la Verdad, la Vida.

Dios, empero, es el fundamento de Cristo.
Dios, potencia totalmente indeterminada, engendra la Verdad, potencia absolutamente determinada. Ésta, a su vez, engendra al Espíritu, que es el acto infinito absolutamente determinado, en tanto es conforme con la Verdad.

Trinidad
"Como bien decía Diderot: ¿las 3 personas de la trinidad son 3 sustancias o accidentes?.

Posibilidades: Si son 3 sustancias somos politeístas paganos. Si son 3 accidentes somos ateos o escépticos. Entonces le pregunto a Daniel, ¿cuál de las 2 alternativas es la correcta?".
... la conclusión a la que llega Diderot no tiene ninguna fuerza.

Las personas divinas son accidentes de Dios, del latín "accidens", lo que accede. Dios puede acceder a sí mismo, es decir, contemplarse, pensarse, pronunciarse; acciones que no es posible realizar reflexivamente con total perfección.

Así, el hombre contempla su imagen física en un espejo, no su imagen mental. Se dirá que ello es debido a sus limitaciones creaturales y que ello en Dios bien podría acontecer sin déficit, dada su omnipotencia. Pero se plantea la siguiente aporía:

...Si Dios terminara de pensarse, no sería infinito; si no terminara, no sería perfecto. Luego en cualquier caso no sería Dios, al privársele de su plenitud ontológica. Sólo hay una salida:

reconocer en Él una esencia pensante y otra pensada, ambas constituyentes del mismo ser y unidas por una tercera que es su factor común.

La Trinidad de personas irreductibles entre sí (el poder, la sabiduría y el amor) permite, en primer lugar, que Dios tenga la potestad de conocer y amar infinitamente, así como de realizar todo lo realizable; en segundo lugar, que posea la sabiduría para hacerlo todo de la mejor manera posible y el amor para llevarlo a término; en tercer lugar, que ame lo que hace y lo que no hace pero conoce, siendo el Ser felicísimo por antonomasia.

De este modo se muestra su carácter creador, providente y misericordioso, que es propio del verdadero Dios, enemigo de los ídolos, cuya noción básica compartimos judíos, cristianos y musulmanes, pese a discrepar en las definiciones teológicas y en la forma del culto.

Elucubraciones sobre el "infinito"

Actualmente me resulta evidente que el esfuerzo nuestros profesores para enseñarnos el concepto de cantidades infinitas fue un completo fracaso. Y por supuesto no fue culpa de nuestra maravillosa maestra de escuela primaria (no recuerdo cuál de ellos fue, pero todas mis maestros fueron maravillosos ante mis ojos infantiles).

El concepto elucubraciones de infinitud no "entra" fácilmente (si es que alguna vez entra) en nuestras mentes.

Recuerdo, que cuando tenía yo unos 30 años, durante las muchas charlas con mi suegro José Jimenez Mier (doctor en quiminca y apasionado de la física), en el jardín de nuestra casa en Guadarrama, mirando al cielo estrellado en las noches de verano (yo trabajaba por entonces por la noche y salía de casa sobre la 01.00h de la madrugada…y donde él intentaba explicarme el tamaño del universo y, muchísimas cosas más de astronomía, religión, filosofía,…. así durante estas convrsaciones surgió la inevitable pregunta acerca de dónde termina el universo?. Y si termina, qué hay más allá?. Preguntas sin respuesta clara, pero que me abrieron la mente a algunas de las grandes incógnitas con las que viene luchando nuestra mente desde que los seres humanos tuvimos tiempo ocioso para preocuparnos no sólo por las cosas cotidianas.

Y el último recuerdo importante ya pertenece al período universitario donde consultando a mis cuñados Pepe, Sergio y Javier…. me enseñaron a tratar matemáticamente las cantidades infinitas y (oh sorpresa!) las trans-finitas. Finalmente había cosas más grandes que el infinito vulgar que había aprendido en la escuela primaria.

Muchos años después (y lamentablemente ya no tengo a mi suegro para conversar con él – era otro padre y maestro para mí en muchos temas, así como compañero de aficiones en otros temas, como era la carpintería y la fotografía) algunas de todas estas cosas siguen dando vueltas por mi cabeza. Es un proceso contra el que no puedo ni quiero dejar luchar. Intentar conocer los fundamentos de nuestra vida, de nuestro entorno, de nuestro mundo, de nuestros misterios, de los límites e infinitos posibles….

Pero además sigo sumando datos. Y entre las cosas que aprendí en el camino figura la diferencia entre la descripción matemática del mundo físico y el mundo físico. Las matemáticas son una muy bella herramienta, pero a veces somos "más papistas que el Papa" en su empleo y creemos que las matemáticas son una realidad en sí mismas

Puedo entonces definir el objetivo de esta página.

En estos párrafos quiero plantear algunas objeciones prácticas que hacen foco sobre el posible uso equivocado (desde mi punto de vista) del concepto de infinito en el campo de los problemas físicos. Y sé que piso terreno resbaladizo puesto que estoy muy, pero muy lejos de ser un experto matemático.

En alguna medida la discrepancia entre infinitos matemáticos e infinitos físicos deriva de la mayor “libertad” de que gozan las matemáticas para definir propiedades y conceptos sobre las entidades que manejan. La asignación de realidad física a los resultados matemáticos es siempre un proceso que merece ser analizado toda vez que parezca necesario.

En forma adicional, el enfoque aquí desarrollado, con ayuda de la “Teoría del Caos”, conduce también a un análisis especial del concepto de “Libre Albedrío”.

Para empezar , muchos conceptos aritméticos y geométricos se aceptan como “intuitivos”. Tal es el caso de los conceptos de punto, recta y plano de la geometría euclídea. De este modo se acepta que un “punto” no tiene dimensiones, y que una recta no tiene espesor y está formada por la alineación de infinitos puntos.

Pero estos conceptos “intuitivos” pueden conducir a falacias físicas notables. En particular nos centraremos en el concepto de “infinito” desde un punto de vista físico, dado que nuestra “intuición” deriva de nuestras experiencias físicas.

La forma tradicional de introducir el concepto de infinito, es a través de la sucesión de números naturales.

En estos casos el mecanismo se generaliza diciendo algo así como: “... Evidentemente mediante este proceso se llega a ...”. La falacia de este razonamiento radica en que plantea un procedimiento de extensión infinita, y por lo tanto no “se llega” a ningún lado puesto que el proceso no termina nunca. Y si uno acepta que el proceso se completa, de alguna manera está introduciendo una paradoja. Esta paradoja es la que permite hablar de infinitos mayores que otros, pues al aceptar que un conjunto infinito es numerable, es posible encontrar un “infinito” de mayor jerarquía.

Ahora, de una manera práctica (basada en conceptos físicos) intentaremos llegar al concepto de infinito:

Si me dispongo a llenar una pileta de 10,000 litros empleando un balde de 10 litros, es evidente que, en el caso ideal en que no hay derrames ni evaporación, podré completar la tarea luego de transportar y verter 1,000 baldes. Ésta parece una tarea pesada, pero no imposible.
1,000 baldes es una cantidad grande de baldes. Pero la tarea es realizable.

Ahora bien, si cada balde lo lleno sólo con la décima parte de su capacidad (1 litro), deberé realizar 10,000 transportes para completar la tarea. Y si en cada balde transporto sólo 1 cm3 deberé realizar 10,000,000 de viajes para llenar la pileta.
10,000,000 de viajes son muchos, pero todavía es una cantidad que nuestra mente puede manejar. Como ejemplo, durante una lluvia que registra 10 mm en un pluviómetro, en una hectárea caen algo así como 100,000 litros de agua, y asumiendo que 20 gotas corresponden a 1 cm3, esto representa 2,000,000,000 de gotas

Y si transporto 10-20 litros en cada balde (cerca de 1,000,000 de moléculas de agua en cada viaje), necesitaré 1024 viajes para lograr la tarea.

Bien, suponiendo que continúo reduciendo el volumen transportado en cada viaje, puedo hacer crecer indefinidamente el número de viajes necesarios para realizar el llenado.

De este modo, da la impresión de que puedo reducir el volumen hasta que sea necesario un número infinito de viajes.

Correcto?

.....?

Absolutamente Falso!!!.

Con infinitos baldes vacíos no puedo llenar nada. Y si cada balde transporta algo, con un número finito de pasos (por muchos que sean) puedo completar la tarea.


Lo mismo pasa con la recta y el punto. Si el punto no tiene espesor en ninguna de las dimensiones, infinitos puntos siguen sin tener espesor. Del mismo modo, infinitos baldes vacíos tienen tanta agua como un solo balde vacío.

Nada impide que matemáticamente se genere un resultado donde se obtiene que la suma de infinitos ceros es igual a 1 (ó a 10, o cualquier otro número). El problema consiste en asumir que ese modelo matemático se aplica a la realidad física.

Esta falacia básica ha llevado (desde mi punto de vista) a numerosas malas interpretaciones físicas. Cualquier recta (o segmento) real puede contener sólo una cantidad finita de entes primarios. Se pueden imaginar segmentos con infinitos puntos, pero en este caso le estamos abriendo las puertas a las paradojas pues planteamos postulados contradictorios.

Otra falacia conceptual se obtiene cuando se comparan diferentes “infinitos”. En este caso se hacen razonamientos para demostrar, por ejemplo, que dos círculos de radio diferente tienen infinitos puntos que se pueden colocar en correspondencia uno a uno. Y por lo tanto se concluye que los dos infinitos son iguales. O sea, que de alguna manera, se está aceptando implícitamente que existe la misma cantidad de puntos en una circunferencia de 1 metro de diámetro, que en otra de 10 metros de diámetro. No voy a discutir el concepto matemático (con el que también tengo objeciones), sino las consecuencias físicas de usar este resultado matemático en la descripción de la "realidad".

Cualquiera que sea el constituyente último (átomos, quarks, supercuerdas, ...) que da lugar a la existencia física de una soga circular de un metro de diámetro, es muy difícil aceptar que la misma cantidad de esos constituyentes últimos puede dar lugar a una soga circular de 10 metros de diámetro. Los objetos físicos están formados por cantidades finitas de constituyentes. Si alguien cree que algo puede formarse con cantidades infinitas de otra cosa, acepta una paradoja puesto que agrupar infinitas unidades es un proceso que consume infinito tiempo. Y el universo no dispuso de infinito tiempo.

En los textos especializados también se “demuestra” que los números pares y los naturales pueden ponerse en correspondencia de modo que hay tantos números pares como naturales (pares + impares). Ó, expresado en forma simbólica:

N x Infinito = Infinito (donde N representa cualquier número Natural).

Sin embargo, en estos casos se generaliza una tarea que no puede realizarse. Y como se plantea una tarea no realizable y se dice que se realizó, se genera automáticamente la paradoja mencionada.

Esto lleva al concepto de infinitos de diferentes rangos (Aleph0, Aleph1, etc). Estos no son más que juegos matemáticos. La realidad física siempre pone límites. Y si uno se olvida de estos límites (aunque sean desconocidos o difíciles de evaluar) puede cometer errores conceptuales muy serios.

Cuando se eliminen los infinitos de los desarrollos físicos, se dará un paso gigantesco hacia la descripción adecuada de la realidad.